GEOMETRIA

La geometría es una rama de la matemática que estudia idealizaciones del espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, curvas, superficies, etc. Se utiliza para solucionar problemas concretos y es la justificación teórica de muchos instrumentos, por ejemplo el compás, el teodolito y el pantógrafo.

Así mismo, da fundamento teórico a inventos como el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales) y es útil en la preparación de diseños (justificación teórica de la geometría descriptiva, del dibujo técnico e incluso en la fabricación de artesanías).

Historia de la Geometría

La geometría clásica se encargaba de estudiar construcciones utilizando regla y compás. Posteriormente y dado que, toda construcción es repetición de cinco operaciones básicas sobre los mismos elementos (rectas y puntos), comenzaron a tratarse como operaciones con símbolos algebraicos.

La geometría ha sido desde los principios de la humanidad un mecanismo utilizado para encontrar soluciones a los problemas más comunes de quienes la han aplicado en su vida, pues, entre otros usos, facilita la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas y además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas.

La barrera entre el álgebra y la geometría se difuminó hasta llegar al Programa de Erlangen, en el cual se define a la geometría como el estudio de las invariantes de un conjunto mediante transformaciones. Esto quiere decir que cada grupo determina sobre un conjunto una serie de propiedades invariantes.

Actualmente resulta difícil establecer una distinción precisa entre la geometría y el análisis, aunque en cualquier caso son fundamentales las aportaciones del álgebra y la topología.

Como gran representante tómese a la topología geométrica, una ciencia donde sus objetos, métodos y propiedades utilizan y desarrollan construcciones muy importantes, como el Polinomio de Jones, —sofisticada construcción relacionada a los nudos en 3-variedades— que muestra muchas misteriosas conexiones de esta (topología de dimensiones bajas) con la física moderna. Otro buen ejemplo es la teoría de Blow Ups de la geometría algebraica.

Axiomas, definiciones y teoremas

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso en el que no se cometan errores, para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos.

El primer sistema axiomático fue el de Euclides, pero hoy se sabe que este sistema euclídeo es incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo.

Como en todo sistema formal, debe tenerse en cuenta lo siguiente: las definiciones, axiomas y teoremas no pretenden (o no solo pretenden) describir el comportamiento de unos objetos. Cuando axiomatizamos algo, convertimos ese comportamiento en nuestro objeto de estudio, pudiendo olvidar ya los objetos iniciales del estudio (que se denominan modelo).

Esto significa que en adelante, las palabras punto, recta y plano deben de perder todo significado visual. Si se conserva la idea de punto, recta y plano como lo que comúnmente se comprende como tales, las definiciones y axiomas, e incluso algunos de los teoremas parecerán evidentes y carentes de importancia. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y su comportamiento será virtualmente idéntico al del modelo "tradicional".

Por ejemplo, si en la noción de "punto" consideramos el modelo en el que un punto cualquiera es un polinomio cualquiera de segundo grado f(x) = ax² + bx + c, si una recta es para nosotros entonces una familia de polinomios de la siguiente manera y un plano es entendido como el conjunto , es posible ver que TODOS los resultados de las distintas geometrías son válidos para este modelo.

Axiomas

Los axiomas son proposiciones o afirmaciones que relacionan conceptos los cuales deben ser definidos en función al punto, la recta y el plano.

En los diferentes tipos de geometría sintética se distinguen cuatro grupos de axiomas. Un quinto grupo de axiomas (el axioma de paralelismo) es el que distinguirá una geometría de otra

Existencia e Incidencia

Son aquellos axiomas que nos dan las condiciones para asegurar la existencia de puntos, rectas y planos y cómo inciden unos en otros.

Para determinar una recta, son necesarios dos puntos distintos. En cambio, para determinar un plano son necesarios tres.

Si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está en el plano. Si dos puntos de una recta están en otra recta, ambas rectas coinciden (son la misma).

Ordenación

Estos axiomas ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos como recta. Se dividen en:

• Axioma de Ordenación: Dados tres puntos distintos sobre una recta, uno está entre los otros dos. Asegura que todo segmento sea divisible. Si seleccionamos un punto cualquiera en una recta, el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están en un lado y los que están en el otro).

• Axioma de Pascho: Este axioma garantiza que una recta divide a los puntos del plano en dos categorías (los que están de un lado se considera un movimiento). Dado un triángulo y una recta que no pasa por sus vértices, o la recta es externa al triángulo, o pasa por dos de los lados.

• Solo existe un movimiento que transforma una semirrecta en otra y un semiplano determinado por la misma en otro determinado por la otra.

Congruencia

Se definen los conceptos siguientes:

• Segmento: Conjunto de puntos consecutivos limitados por otros dos puntos dentro de una recta.
• Ángulo: Un punto y un par de semirrectas que parten de él.

Sobre estos dos conceptos se postula la existencia de una relación de congruencia que es el equivalente axiomático de los movimientos. Básicamente, dados dos segmentos o dos ángulos, se acepta la existencia de un método que permite decir si son congruentes o no, basado en los siguientes postulados:

• Todo segmento es congruente consigo mismo.
• Si un segmento es congruente con uno dado, el dado es congruente con el primero.
• Si dos segmentos son congruentes con un tercero son congruentes entre ellos.
• Dados dos segmentos formando un ángulo, congruentes con otros dos que forman un ángulo congruente, al unir los extremos sueltos para formar dos triángulos, los tres lados y los tres ángulos serán congruentes.

Continuidad

• Axioma de Arquímedes: Se impone que un segmento pueda dividirse en dos indefinidamente.
• Axioma de la plenitud: Se impone que el conjunto de puntos de una línea no pueda ser ampliado mediante cierres (límites de sucesiones).

Definiciones

Semirrecta

Una semirrecta es el conjunto de todos los puntos de una recta que están a un lado de un punto de ésta. Para determinarla se especificará la recta en cuestión, el punto que la divide y un punto del lado elegido teniendose en cuenta que el punto que divide a la recta pertenece a la semirrecta en cuestión.

Semiplano

Un semiplano, análogo a la semirrecta, es el conjunto de puntos del plano que están a un lado de una recta. Para determinarlo se especifica el plano en cuestión, la recta que lo divide y un punto del lado elegido teniendose en cuenta que la recta que divide al plano pertenece al semiplano en cuestión.

Movimiento

El movimiento se trata de transformaciones que modifican figuras (puntos, rectas, planos, semiplanos, etc) en otros de la misma clase. Hay que tener en cuenta que se transforma un punto que pertenece a una recta en otro punto que pertenece a la recta homóloga. Esto se puede ver cuando se piensa que si movemos una caja, que tiene un dibujo, el mismo seguirá en la caja al terminar de moverlo.

El movimiento también se puede definir como movimiento a una transformación de coordenadas en un espacio, de forma tal que la métrica de este espacio sea invariable.

Teoremas

Los teoremas se demuestran en base a axiomas. De este modo:

• Podemos afirmar que entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos y para demostrarlo basta con aplicar el axioma que nos indica que hay un punto entre ambos repetidas veces.
• Podemos afirmar que una recta cualquiera y un punto fuera de ella, determinan un plano, el cual contiene a la recta y al punto simultáneamente. La demostración se basa en observar que la recta está determinada por dos puntos (cualesquiera) de ésta y tres puntos determinan un plano, que contiene al punto y a la recta.

• Como un ejemplo más complejo, podemos afirmar que dada una recta en un plano, existen infinitos puntos del plano que no pertenecen a la recta. Primero, vemos que existe un punto dentro del plano y fuera de la recta (por el axioma que nos dice que la recta es un conjunto parcial de puntos). Para demostrar que los puntos son infinitos, vemos que entre ese punto fuera de la recta y un punto cualquiera de la recta, hay infinitos puntos (recurriendo al primer teorema que enunciamos) y éstos deben estar fuera de la recta, ya que si tuvieran otro punto común las dos rectas coincidirían. Véase la figura 1.

Las figuras geométricas y las construcciones

Una figura geométrica es, en la geometría euclidiana, todo espacio encerrado entre líneas. Las construcciones son secuencias de operaciones elementales para construir estas figuras geométricas. Las construcciones son equivalentes al concepto de algoritmo en el álgebra.

Las figuras geométricas son variadas y por su uso, utilización e importancia son divididas en:

• Las figuras fundamentales (sin definición): punto, recta y plano.
• En la recta se pueden ver: segmentos, semirrectas y vectores.
• En el plano, una recta determina dos semiplanos; su intersección determina las figuras convexas: faja, ángulo, triángulo, cuadriángulo y polígono.
• Utilizando el concepto de distancia, se definen: el círculo y la esfera.
• Utilizando el concepto de semiespacio se definen: el diedro, el espacio prismático, el triedro, el ángulo poliedro y los poliedros. Entre los últimos encontramos como casos particulares: el tetraedro, el prisma, la pirámide y el paralelepípedo.
• El concepto de círculo en el espacio da origen a: el cono y el cilindro.

Entre dos o más figuras puede haber relaciones diferentes: dos rectas pueden ser paralelas, perpendiculares u oblicuas (se cortan en un punto formando ángulos no rectos). En el espacio, también pueden ser alabeadas (o cruzadas).

Tipos de geometría

Cada sistema axiomático determina una matemática (en este caso una geometría). Si nosotros agregamos mayor cantidad de axiomas, todos los teoremas válidos en la primera geometría valen también para la segunda (la que tiene los axiomas de la primera y otros más).

Los axiomas hasta aquí enunciados se encuentran en todos los tipos de geometría (aunque no siempre enunciados en la misma forma). A aquella que une las deficiciones, los axiomas, los teoremas y su uso se le llama geometría absoluta o geometría neutral.