MATEMATICAS - identidades trigonometricas

Son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren

Relación pitagórica	$sin^2 theta + cos^2 theta = 1,$
Identidad de la razón	$tan theta = frac{sin theta}{cos theta}$

estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ or −). Por ejemplo, si sin θ = 1/2, la conversión propuesta en la tabla indica que $scriptstylecostheta,=,sqrt{1 - sin^2theta} = sqrt{3}/2$ , aunque en realidad $scriptstylecostheta ,=, -sqrt{3}/2$ . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Función

sin

cos

tan

csc

sec

cot

$sinθ =$

$sin theta$

$sqrt{1 - cos^2theta}$

$frac{tantheta}{sqrt{1 + tan^2theta}}$

$frac{1}{csc theta}$

$frac{sqrt{sec^2 theta - 1}}{sec theta}$

$frac{1}{sqrt{1+cot^2theta}}$

$cosθ =$

$sqrt{1 - sin^2theta}$

$cos theta$

$frac{1}{sqrt{1 + tan^2 theta}}$

$frac{sqrt{csc^2theta - 1}}{csc theta}$

$frac{1}{sec theta}$

$frac{cot theta}{sqrt{1 + cot^2 theta}}$

$tanθ =$

$frac{sintheta}{sqrt{1 - sin^2theta}}$

$frac{sqrt{1 - cos^2theta}}{cos theta}$

$tan theta$

$frac{1}{sqrt{csc^2theta - 1}}$

$sqrt{sec^2theta - 1}$

$frac{1}{cot theta}$

$cscθ =$

${1 over sin theta}$

${1 over sqrt{1 - cos^2 theta}}$

${sqrt{1 + tan^2theta} over tan theta}$

$csc theta$

${sec theta over sqrt{sec^2theta - 1}}$

$sqrt{1 + cot^2 theta}$

$secθ =$

${1 over sqrt{1 - sin^2theta}}$

${1 over cos theta}$

$sqrt{1 + tan^2theta}$

${csctheta over sqrt{csc^2theta - 1}}$

$sectheta$

${sqrt{1 + cot^2theta} over cot theta}$

$cotθ =$

${sqrt{1 - sin^2theta} over sin theta}$

${cos theta over sqrt{1 - cos^2theta}}$

${1 over tantheta}$

$sqrt{csc^2theta - 1}$

${1 over sqrt{sec^2theta - 1}}$

$cottheta$

funciones trigonométricas

$tan{x} = frac {sin{x}} {cos{x}} qquad cot{x} = frac{1} {tan{x}} = frac{cos{x}}{sin{x}}$

$sec{x} = frac{1} {cos{x}} qquad csc{x}= frac{1}{sin{x}}$

Son más difíciles de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (tiene radio=1):

$sin(x) = sin(x + 2pi) qquad cos(x) = cos(x + 2pi) qquad tan(x) = tan(x + pi)$

$sin(-x) = -sin(x) qquad cos(-x) = cos(x)$

$tan(-x) = -tan(x) qquad cot(-x) = -cot(x)$

$sin(x) = cosleft(frac{pi}{2} - xright) qquad cos(x) = sinleft(frac{pi}{2}-xright) qquad tan(x) = cotleft(frac{pi}{2} - xright)$

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

$tan^2left(xright)+1 = sec^2left(xright)$

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

$cot^2left(xright) + 1 = csc^2left(xright)$

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

$sin(x) = sqrt{1-cos^2(x)} qquad sin(x) = frac {1} {sqrt{1+tan^{-2}(x)}}$

$sin(x) = frac {1} {sqrt{1+cot^2(x)}} qquad sin(x) = frac{1} {sec{x}} sqrt{sec^2(x)-1}$

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

$sin(x pm y) = sin(x) cos(y) pm cos(x) sin(y)$

$cos(x pm y) = cos(x) cos(y) mp sin(x) sin(y)$

$tan(x pm y) = frac{tan(x) pm tan(y)}{1 mp tan(x)tan(y)}$

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

$sin(pi pm x) = mpsin(x)$

$cos(pi pm x) = -cos(x)$

$tan(pi pm x) = pmtan(x)$

$csc(pi pm x) = mpcsc(x)$

Para ángulos complementarios:

$sinleft(frac{pi}{2} - xright) = cos(x)$

$cosleft(frac{pi}{2} - xright) = sin(x)$

$tanleft(frac{pi}{2} - xright) = cot(x)$

$cscleft(frac{pi}{2} - xright) = sec(x)$

$secleft(frac{pi}{2} - xright) = csc(x)$

$cotleft(frac{pi}{2} - xright) = tan(x)$

Son igualdades que involucran funciones trigonométricas, verificables para cualquier valor permisible de la variable o variables que se consideren

Relación pitagórica

Identidad de la razón

estas ecuaciones de conversión pueden devolver el signo incorrecto (+ or −). Por ejemplo, si sin θ = 1/2, la conversión propuesta en la tabla indica que , aunque en realidad . Para obtener la única respuesta correcta se necesitará saber en qué cuadrante está θ.

Función sin cos tan csc sec cot sinθ = cosθ = tanθ = cscθ = secθ = cotθ =

Función

sin

cos

tan

csc

sec

cot

sinθ =

cosθ =

tanθ =

cscθ =

secθ =

cotθ =

funciones trigonométricas

Son más difíciles de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (tiene radio=1):

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

Para ángulos complementarios:

$sinθ =$

$cosθ =$

$tanθ =$

$cscθ =$

$secθ =$

$cotθ =$